Question

8．平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=x-4与抛物线y²=4x交于A、B两点．
（I）求证：$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$；
（Ⅱ）在x轴正半轴上是否存在一点P（m，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦直径的圆都过原点，若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程与抛物线方程联立化为：x²-12x+16=0，利用数量积运算性质、根与系数的关系，只要证明$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0即可得出．
（II）在x轴正半轴上存在一点P（2p，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦直径的圆都过原点．
下面给出分析：设经过点P的直线方程为：ty+2p=x，设直线与抛物线相交于点E（x₃，y₃），F（x₄，y₄）．与抛物线方程联立化为：y²-2pty-4p²=0，利用数量积运算性质、根与系数的关系，只要证明$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$=0即可得出．进而得出结论．再利用中点坐标公式、根与系数的关系即可得出圆心的轨迹方程．

解答 （I）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
化为：x²-12x+16=0，
∴x₁+x₂=12，x₁x₂=16．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁-4）（x₂-4）=2x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=2×16-4×12+16=0．
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$．
（II）解：先考虑一般性结论：抛物线y²=2px．
在x轴正半轴上存在一点P（2p，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦直径的圆都过原点．
下面给出证明：设经过点P的直线方程为：ty+2p=x，设直线与抛物线相交于点E（x₃，y₃），F（x₄，y₄）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ty+2p=x}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，化为：y²-2pty-4p²=0，
△=4p²t²+16p⁴＞0．
∴y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-4p²．
则$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$=x₃x₄+y₃y₄=（ty₃+2p）（ty₃+2p）+y₃y₄=（t²+1）y₃y₄+2pt（y₃+y₄）+4p²=-4p²（t²+1）+2pt×2pt+4p²=0．
∴$\overrightarrow{OE}⊥\overrightarrow{OF}$．
∴在x轴正半轴上存在一点P（2p，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦直径的圆都过原点．
因此对于：抛物线y²=4x，在x轴正半轴上存在一点P（4，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦直径的圆都过原点．
∴m=4．
设线段EF的中点G（x₀，y₀）．
由y₁+y₂=2pt=4t=2y₀，解得y₀=2t，
x₁+x₂=ty₁+4+ty₂+4=2ty₀+8=4t²+8，∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2t²+4，
化为：${x}_{0}=2×（\frac{{y}_{0}}{2}）^{2}$+4，∴${y}_{0}^{2}$=2（x₀-4）．（x₀≥4）．
∴圆心G的轨迹方程为：${y}_{0}^{2}$=2（x₀-4）．（x₀≥4），把x₀，y₀分别换成x，y，可得点G的轨迹方程为：y²=2（x-4）（x≥4）．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、向量垂直与数量积运算性质、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．