Question

10．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子．盒子的高为多少时，盒子的容积最大？最大容积是多少？

Answer 1

分析 设盒子的高为xcm，则盒子的底边长分别为（10-2x）cm，（16-2x）cm．盒子的容积是V（x）=（16-2x）（10-2x）x，x∈（0，5）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：设盒子的高为xcm，则盒子的底边长分别为（10-2x）cm，（16-2x）cm．
盒子的容积是V（x）=（16-2x）（10-2x）x，x∈（0，5）．
由V'（x）=12x²-104x+160=0．
解得x₁=2或${x_2}=\frac{20}{3}$（舍）．
当x∈（0，2）时，V'（x）＞0；当x∈（2，5）时，V'（x）＜0．
∴函数V（x）在x=2处取得极大值，这个极大值就是函数V（x）的最大值V（2）=144（cm³）．
答：当盒子的高2cm为时，盒子的容积最大，最大值为144cm³．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．