Question

2．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+b（x≠0），其中a，b∈R．若对任意的a∈[$\frac{1}{2}$，2]，不等式f（x）≤10在x∈[$\frac{1}{4}$，1]上恒成立，则b的取值范围为（-∞，$\frac{7}{4}$]．

Answer 1

分析 根据x+$\frac{a}{x}$函数的性质可判断当a最小时，x越大函数值越大，当a越大时，x越小函数值越大，只需比较最大的即可．

解答 解：∵对任意的a∈[$\frac{1}{2}$，2]，不等式f（x）≤10在x∈[$\frac{1}{4}$，1]上恒成立，
∴当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）最大值为f（1）=1+$\frac{1}{2}$+b=$\frac{3}{2}$+b
当a=2时，f（x）最大值为f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$+8+b=$\frac{33}{4}$+b
显然$\frac{33}{4}$+b＞$\frac{3}{2}$+b，
∴$\frac{33}{4}$+b≤10，
∴b≤$\frac{7}{4}$，
故答案为：（-∞，$\frac{7}{4}$]

点评 本题考查了对抽象函数x+$\frac{a}{x}$的深刻理解和恒成立问题的转换．恒成立问题即最值问题，牢记这一转换．