Question

20．定义min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤b}\\{b，a＞b}\end{array}\right.$，设函数f（x）=min{$\sqrt{x}$，|x-2|}，若直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x₁，x₂，x₃，则x₁•x₂•x₃的取值范围为（0，3）．

Answer 1

分析 由f（x）表达式作出函数f（x）的图象，由图象可求得符合条件的m的取值范围，由图可知0＜x₁＜1＜x₂＜2＜x₃＜3，通过解方程可用m把x₁，x₂，x₃分别表示出来，即可求出得x₁x₂x₃的取值范围．

解答 解：作出函数f（x）的图象如下图所示：
由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}}\\{|x-2|}\end{array}\right.$
，解得A（1，1），B（4，2）
由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜1，
由图可知0＜x₁＜1＜x₂＜2＜x₃＜3，
则由$\sqrt{{x}_{1}}$=m得x₁=m²，由|x₂-2|=2-x₂=m，
得x₂=2-m，由|x₃-2|=x₃-2=m，
得x₃=m+2，且2-m＞0，m+2＞0，
∴x₁•x₂•x₃=m²•（2-m）•（2+m）=m²•（4-m²）=-（m²-2）²+4，
当m=1时，函数有最大值，即为3，
∴0＜x₁•x₂•x₃≤3．
故答案为：（0，3）

点评 本题考查函数与方程的综合运用，以及数形结合思想，综合运用知识分析解决新问题的能力，属于中档题．