Question

【题目】已知数列{an}中，a1=3，a2=5，{an}的前n项和Sn ， 且满足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3）．
（1）试求数列{an}的通项公式；
（2）令bn= ，Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn＜ ；
（3）证明：对任意给定的m∈（0， ），均存在n0∈N+ ， 使得当n≥n0时，（2）中的Tn＞m恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：由Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3），得 ，

即 ，移项得 ，

∴ ， ，…， ，

这个n﹣2等式叠加可得：

an﹣a2=22+23+…+2n﹣1= =2n﹣4，

又a2=5，

∴ ，n≥3，经验证a1=3，a2=5也适合该式，

∴ ，n∈N*

（2）证明：（2）由（1）知 = = （ ﹣ ），

∴bn= = （ ﹣ ），

∴数列{bn}的前n项和：

Tn= [（ ）+（ ）+…+（ ﹣ ）]

= （ ）= ＜ ．

∴Tn＜ ．

（3）证明：由（2）可知Tn= （ ）＜ ．

若Tn＞m，则得 ，化简得 ，

∵m∈（0， ），∴1﹣6m＞0，

∴ ，

当 ，即0＜m＜ 时，取n0=1即可，

当 ，即0＜m＜ 时，取n0=1即可，

当 ，即 时，

则记 的整数部分为S，取n0=s+1即可，

综上可知，对任意给定的m∈（0， ），均存在n0∈N+，使得当n≥n0时，（2）中的Tn＞m恒成立

【解析】（1）把数列递推式变形得到Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1（n≥3），结合an=sn﹣sn﹣1得到an﹣an﹣1=2n﹣1（n≥2），由累加法得到数列的通项公式；（2）把数列{an}的通项公式代入bn= ，化简后利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn ， 由此能证明Tn＜ ；（3）把要证的Tn＞m转化为n＞ ．然后分 ＜1和 ≥1，求解出n0说明要证的结论成立．