Question

5．已知动圆过定点$（{0，\frac{1}{2}}）$，且与直线y=-$\frac{1}{2}$相切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q是轨迹C上一点，过Q作圆P：（x-6）²+y²=1的切线，其中A、B是切点，若轨迹C在点Q处的切线与直线AB平行，求直线AB方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）个别化动圆和点和直线的位置关系建立方程结合抛物线的定义即可求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）求出圆的切线，结合切线和直线AB的婆媳关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因为动圆圆心到定点$（{0，\frac{1}{2}}）$与定直线$y=-\frac{1}{2}$的距离相等，
由抛物线的定义知，动圆圆心轨迹为抛物线…（2分）
其中$（{0，\frac{1}{2}}）$为焦点，$y=-\frac{1}{2}$为准线，所以轨迹方程为x²=2y…（4分）
（Ⅱ）  设Q（m，n），由x²=2y，得$y=\frac{1}{2}{x^2}$，函数的导数y′=f′（x）=x，Q处的切线斜率为f′（m）=m…（5分）
线段PQ中点$（\frac{6+m}{2}，\frac{n}{2}）$，A、B是以PQ为直径的圆R与圆P的两交点．
圆R的方程为：$（x-\frac{m+6}{2}{）^2}+{（y-\frac{n}{2}）^2}=\frac{{{{（m-6）}^2}}}{4}+\frac{{{{（n）}^2}}}{4}$
即：x²+y²-（m+6）x-ny+6m=0…（7分）
又圆P方程为：x²+y²-12x+35=0
相减得：（m-6）x+ny-6m+35=0…（9分）
当n≠0时，因为Q处的切线与直线AB平行，$m=\frac{6-m}{n}$，
即nm=6-m，
∵m²=2n，
∴n=$\frac{1}{2}$m²，
即$\frac{1}{2}$m³=6-m，
即m³+2m-12=0，
即（m-2）（m²+2m+6）=0，
∴m=2，则n=2
所以，直线AB方程是4x-2y-23=0
当n=0时，Q处的切线与AB垂直，不符合题设…（12分）
另解：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
当OA和过A的切线斜率都存在时
则过A（x₁，y₁）的切线方程：$y-{y_1}=-\frac{{{x_1}-6}}{y_1}（x-{x_1}）$（1）
因为 A（x₁，y₁）在圆P上，所以${x_1}^2+{y_1}^2-12{x_1}+35=0$
上且切线过Q（m，n），所以，$n-{y_1}=-\frac{{{x_1}-6}}{y_1}（m-{x_1}）$
以上两式代入（1）整理得：（m-6）x₁+ny₁-6m+35=0…（7分）
当OA和过A的切线斜率都有一条不存在时，上式同样成立
同理可得 （m-6）x₂+ny₂-6m+35=0…（8分）
所以直线mx+（2-n）y-2n+3=0过A、B两点，是直线AB方程的方程…（10分）
因为，Q处的切线与直线AB平行，$m=\frac{6-m}{n}$，
即nm=6-m，
∵m²=2n，
∴n=$\frac{1}{2}$m²，
即$\frac{1}{2}$m³=6-m，
即m³+2m-12=0，
即（m-2）（m²+2m+6）=0，
∴m=2，则n=2
所以，直线AB方程是4x-2y-23=0…（12分）

点评 本题主要考查点的轨迹的求解以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，利用抛物线的定义求出点的轨迹是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．