Question

已知函数f(x-2)=ax²-(a-3)x+(a-2)的图象过点(1，0)，设g(x)=f［f(x)］，F(x)=p·g(x)+q·f(x)(p、q∈R).

(1)求a的值.

(2)求函数F(x)的解析式.

(3)是否存在实数p(p＞0)和q，使F(x)在区间(-∞，f(2))上是增函数且在(f(2)，0)上是减函数?请证明你的结论.

Answer 1

解:(1)由题意知a-(a-3)+a-2=0，

解得a=-1.

(2)∵a=-1，

∴f(x-2)=-x²+4x-3=-(x-2)²+1，即f(x)=-x²+1.

∴g(x)=f［f(x)］=-x⁴+2x².

∴F(x)=-px⁴+(2p-q)x²+q.

(3)∵f(2)=-3，则可假设存在实数p＞0和q，使得F(x)在区间(-∞，-3)上是增函数，在(-3，0)上是减函数.

设x₁＜x₂，则F(x₁)-F(x₂)=(x₁²-x₂²)［-p(x₁²+x₂²)+2p-q］.

①当x₁、x₂∈(-∞，-3)时，

∵F(x)是增函数，∴F(x₁)-F(x₂)＜0.

又x₁²-x₂²＞0，

∴-p(x₁²+x₂²)+2p-q＜0.                                                         ①

又x₁＜-3，x₂＜-3，∴x₁²+x₂²＞18.

∴-p(x₁²+x₂²)+2p-q＜-18p+2p-q=-16p-q.要使①式成立，只需-16p-q≤0.

②当x₁、x₂∈(-3，0)时， F(x)是减函数，

∴F(x₁)-F(x₂)＞0.

又x₁²-x₂²＞0，

∴-p(x₁²+x₂²)+2p-q＞0.                                                        ②

又∵x₁、x₂∈(-3，0)，∴x₁²+x₂²＜18.

∴-p(x₁²+x₂²)+2p-q＞-18p+2p-q=-16p-q.

要使②式成立，只需-16p-q≥0.

综合①②可知-16p-q＝0，即16p+q＝0.

∴存在实数p和q，使得F(x)在区间(-∞，-3)上是增函数，在(-3，0)上是减函数.