Question

【题目】已知集合P的元素个数为个且元素为正整数，将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即 ，，，，其中 ，， 若集合A、B、C中的元素满足 ，，，2，，则称集合P为“完美集合”．

若集合2，，2，3，4，5，，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；

已知集合x，3，4，5，为“完美集合”，求正整数x的值；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

(1)讨论集合A与集合B，根据完美集合的概念知集合C，根据ak+bk=ck ,可依次判断集合P与Q是否为完美集合；（2）讨论集合AB,根据完美集合的定义，建立等式求x的值.

（1）集合P＝2，为“完美集合”，

令A＝{1}，B＝{2}，C＝{3}．

则集合A、B、C中的元素满足ak+bk＝ck，

集合Q＝2，3，4，5，不是“完美集合”，

若集合Q为“完美集合”，

则C中元素最小为3，

若C的最小元素为3，则a1+b1＝1+2＝3，

a2+b2＝4+5＝c2＝6不可能成立，

若C的最小元素为4，则a1+b1＝1+3＝4，

a2+b2＝2+5＝c2＝6不可能成立，

若C的最小元素为5，则a1+b1＝1+4＝5，

a2+b2＝2+3＝c2＝6不可能成立，

综上可得集合Q＝{1,2，3，4，5，6}不是“完美集合”

（2）由（1）可得x≠2，

若A＝{1，3}，4∈B，则5∈C，6∈B，x＝3+6＝9∈C满足“完美集合”的定义；

若A＝{1，3}，5∈B，则6∈C，5∈B，x＝3+5＝8∈C满足“完美集合”的定义；