Question

【题目】如图,在四面体中, 在平面的射影为棱的中点, 为棱的中点,过直线作一个平面与平面平行,且与交于点,已知, .

(1)证明: 为线段的中点

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：(1)根据题中两面平行的条件，结合面面平行的性质，得到线线平行，其中一个点是中点，那就是三角形的中位线，从而得到一定为中点；

(2)利用题中所给的相关的垂直的条件，建立相应的坐标系，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得到对应二面角的余弦值.

详解：(1)证明: 平面平面，

平面平面，

平面平面，

，

为的中点, 为的中点.

(2)解: 为的中点, ，

以为坐标原点,建立空间直角坐标系，如图所示,则，

，

，

易求得，，

设平面的法向量为，则，

即，

令，得.

设平面的法向量为，则，即，

令，得

，

又平面平面，

平面与平面所成锐二面角的余弦值为.