【题目】在平面直角坐标系中,点是直线
上的动点,定点
点
为
的中点,动点
满足
.
(1)求点的轨迹
的方程
(2)过点的直线交轨迹
于
两点,
为
上任意一点,直线
交
于
两点,以
为直径的圆是否过
轴上的定点? 若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,说明理由。
【答案】(1)(2)以
为直径的圆过
轴上的定点
【解析】分析:(1)根据条件可得点的轨迹是以
为焦点、以直线
为准线的抛物线,其方程为
.(2)假设以
为直径的圆过
轴上的定点
, 设
.由题意可得
,
,由
得
.设直线
的方程为
,与抛物线方程联立消元后得到二次方程,结合根与系数的关系和上式可得
,解得
,进而可得以
为直径的圆过
轴上的定点
.
详解:(1)由已知得垂直平分
,故
又轴,
则,
所以点到点
的距离和到直线
的距离相等,
故点的轨迹是以
为焦点、以直线
为准线的抛物线,
由条件可得轨迹的方程为.
(2)假设以为直径的圆过
轴上的定点
.
设
,
则 ,
直线 的方程为
,
令得
即
.
同理可得.
由已知得 恒成立,即
,
即.
设直线的方程为
,
由消去
整理得
,
所以,
于是,
整理得,
解得 .
故以 为直径的圆过
轴上的定点
.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的图象与x轴的交点中,相邻两条对称轴之间的距离为
,且图象上一个最低点为M
.
(1)求ω,φ的值;
(2)求f(x)的图像的对称中心;
(3)当x∈时,求f(x)的值域.
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【题目】在四棱锥中,底面ABCD是矩形,
平面ABCD,
,E,F是线段BC,AB的中点.
Ⅰ
证明:
;
Ⅱ
在线段PA上确定点G,使得
平面PED,请说明理由.
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【题目】A、B、C三位老师分别教数学、英语、体育、劳技、语文、阅读六门课,每位教两门.已知:
(1)体育老师和数学老师住在一起,
(2)A老师是三位老师中最年轻的,
(3)数学老师经常与C老师下象棋,
(4)英语老师比劳技老师年长,比B老师年轻,
(5)三位老师中最年长的老师比其他两位老师家离学校远.
问:A、B、C三位老师每人各教哪几门课?
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【题目】如图,在四面体中,
在平面
的射影
为棱
的中点,
为棱
的中点,过直线
作一个平面与平面
平行,且与
交于点
,已知
,
.
(1)证明: 为线段
的中点
(2)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
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【题目】已知命题p:关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根;命题q:关于x的一元二次方程
对于任意实数a都没有实数根.
若命题p为真命题,求实数m的取值范围;
若命题p和命题q中有且只有一个为真命题,求实数m的取值范围.
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【题目】已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2AC= AB,若四面体P﹣ABC的体积为
,则该球的体积为( )
A.
B.2π
C.
D.
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【题目】“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1~8号8扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎),选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中,发现参赛选手多数分为两个年龄段:20~30;30~40(单位:岁),其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.
(1)写出2×2列联表;判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关;说明你的理由;(下面的临界值表供参考) (参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d)
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
(2)现计划在这次场外调查中按年龄段选取6名选手,并抽取3名幸运选手,求3名幸运选手中在20~30岁之间的人数的分布列和数学期望.
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