【题目】已知函数f(x)=loga( ﹣mx)在R上为奇函数,a>1,m>0. (Ⅰ)求实数m的值;
(Ⅱ)指出函数f(x)的单调性.(不需要证明)
(Ⅲ)设对任意x∈R,都有f( cosx+2t+5)+f(
sinx﹣t2)≤0;是否存在a的值,使g(t)=a
﹣2t+1最小值为﹣
.
【答案】解:(I)f(﹣x)=﹣f(x)可得,loga( +mx)=﹣loga(
﹣mx)=loga(
), ∴(
+mx)=(
),即 2x2+1﹣m2x2=1,∴m2=2,m=
.
(II)由(I)知 f(x)=loga( ﹣
x)=loga(
),
故函数f(x)在R上是减函数.
(III)又对任意x∈R,都有f( cosx+2t+5)+f(
sinx﹣t2)≤0,
∴f( cosx+2t+5)≤﹣f(
sinx﹣t2)=f(t2﹣
sinx),
∴ cosx+2t+5≥t2﹣
sinx,即 t2﹣2t﹣5≤
sinx+
cosx.
由于 sinx+
cosx=2sin(x+
)≥﹣2,故 t2﹣2t﹣5≤﹣2,解得﹣1≤t≤3.
令n=2t , 则n∈[ ,8],令h(n)=g(t)=a
﹣2t+1 =an2﹣2n,二次函数h(n)的对称轴方程为n=
.
∵a>1,∴0< <1.
当0< <
时,h(n)在[
,8]上是增函数,h(n)的最小值为h(
)=
﹣1=﹣
,求得a=
(舍去).
当 ≤
<1时,h(n)的最小值为h(
)=﹣
=﹣
,求得a=
,满足条件.
综上可得,a=
【解析】(I)f(﹣x)=﹣f(x)可得( +mx)=(
),即 2x2+1﹣m2x2=1,由此求得m的值.(II)由 f(x)=loga(
﹣
x)=loga(
),可得函数f(x)在R上是减函数.(III)先由已知条件求得t2﹣2t﹣5≤﹣2,求得﹣1≤t≤3.令n=2t , h(n)=g(t)=an2﹣2n,二次函数h(n)的对称轴方程为n=
.再根据g(t)最小值为﹣
,利用二次函数的性质、分类讨论求得a的值.
【考点精析】本题主要考查了复合函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质的相关知识点,需要掌握复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”;在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇才能正确解答此题.
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【题目】某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第x个月的利润 (单位:万元),为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润投入到次月的经营中,记第x个月的当月利润率
,例如:
.
(1)求g(10);
(2)求第x个月的当月利润率g(x);
(3)该企业经销此产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率.
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【题目】已知函数
.
(1)当时,求函数
的极小值;
(2)若函数在
有
个零点,求实数
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若函数在
的三个零点分别为
,求证:
.
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【题目】在直三棱柱ABC-AB
C
中,AB=BC=
,BB
=2,
ABC=90
,E、F分别为AA
、C
B
的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为_______
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的图象与x轴的交点中,相邻两条对称轴之间的距离为
,且图象上一个最低点为M
.
(1)求ω,φ的值;
(2)求f(x)的图像的对称中心;
(3)当x∈时,求f(x)的值域.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,D是 的中点,BD交AC于E. (Ⅰ)求证:DC2=DEDB;
(Ⅱ)若CD=2 ,O到AC的距离为1,求⊙O的半径r.
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【题目】已知集合A={x||x﹣1|≤2,x∈Z},B={x|y=log2(x+1),x∈R},则A∩B=( )
A.{﹣1,0,1,2,3}
B.{0,1,2,3}
C.{1,2,3}
D.{﹣1,1,2,3}
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【题目】如图,在四面体中,
在平面
的射影
为棱
的中点,
为棱
的中点,过直线
作一个平面与平面
平行,且与
交于点
,已知
,
.
(1)证明: 为线段
的中点
(2)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
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