Question

【题目】已知数列满足，，

（1）求证：数列是等差数列，并求其通项公式；

（2）设，求数列{|bn|}的前n项和Tn．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) Tn＝

【解析】

（1）n（an+1﹣n﹣1）＝（n+1）（an+n）（n∈N*），可得nan+1﹣（n+1）an＝2n（n+1），变形2．利用等差数列的定义及其通项公式即可证明．

（2）bn15＝2n﹣15，可得数列{bn}的前n项和Sn＝n2﹣14n．令bn≤0，解得n≤7．得到n≤7时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝﹣b1﹣b2﹣…﹣bn＝﹣Sn．n≥8时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝﹣b1﹣b2﹣…﹣b7+b8+…+bn＝﹣2S7+Sn．

（1）∵n（an+1﹣n﹣1）＝（n+1）（an+n）（n∈N*），

∴nan+1﹣（n+1）an＝2n（n+1），∴2．

∴数列是等差数列，公差为2，首项为2．

∴2+2（n﹣1）＝2n，

∴an＝2n2．

（2）解：bn15＝2n﹣15，

则数列{bn}的前n项和Snn2﹣14n．

令bn＝2n﹣15≤0，解得n≤7．

∴n≤7时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝﹣b1﹣b2﹣…﹣bn＝﹣Sn＝﹣n2+14n．

n≥8时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝﹣b1﹣b2﹣…﹣b7+b8+…+bn＝﹣2S7+Sn＝﹣2×（72﹣14×7）+n2﹣14n＝n2﹣14n+98．

∴Tn．