Question

【题目】设函数有两个零点，，且.

（1）求的求值范围；

（2）求证：.

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】分析：（1）要保证函数有两个不同的零点，，可分析函数的单调性然后根据题意找出两个不同两点所对应的条件即可，对单调性的讨论，注意a的影响；（2）由（1）可知，，是方程（）的两个不等实根，也是方程的两个不等实根，也是函数的两个零点，且，故再构造函数，只需分析出单调性即可得证.

（1）解法一：.

①当时，，在上是增函数，不可能有两个零点.

②当时，由 ，解得，所以

若，则，所以在上是减函数；若，则，所以在上是增函数.所以当时，取得极小值，也是它的最小值.

.

因为，，所以若使有两个零点，只需，解得.

综上，实数的取值范围是.

解法二：题意方程有两个不等实根，易知其中，所以题意方程有两个不等实根函数与的图象有两个不同的公共点.

设，则，所以当或时，，所以在和上是减函数；当，，所以在上是增函数，所以当时，取得极小值.

又因为，，，，在同一坐标系中分别画出函数与的图象，如图所示，观察图形可知当时，二者有两个不同的公共点.

所以实数的取值范围是.

（2）证明：由（1）可知，，是方程（）的两个不等实根，也是方程的两个不等实根，也是函数的两个零点，且.

因为，所以当时，，所以在上是减函数；当时，，所以在上是增函数.

设，则 ，所以当时，

，所以在上是减函数，所以 ，即，即，即.

又因为，所以，所以.