Question

【题目】如图所示，△ABC内接于圆O，D是 的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点E，F． （Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；
（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE， 则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE．
因为AF平分∠BAC，
所以 ，
所以∠FBE=∠BAE，
所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°﹣∠BEG=90°，
所以O′B⊥BF，
所以BF是△ABE外接圆的切线
（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，
所以DF是圆O的直径，
因为BD2+BF2=DF2 ， DA2+AF2=DF2 ，
所以BD2﹣DA2=AF2﹣BF2 ．
因为AF平分∠BAC，
所以△ABF∽△AEC，
所以 = ，
所以ABAC=AEAF=（AF﹣EF）AF，
因为∠FBE=∠BAE，
所以△FBE∽△FAB，从而BF2=FEFA，
所以AB﹣AC=AF2﹣BF2 ，
所以BD2﹣DA2=ABAC=6

【解析】（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE，可证∠FBE=∠BAE，进而证明∠FBG=90°，即可得证BF是△ABE外接圆的切线．（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，由勾股定理可得BD2﹣DA2=AF2﹣BF2 ， 利用相似三角形的性质可得ABAC=AEAF=（AF﹣EF）AF，由△FBE∽△FAB，从而BF2=FEFA，得AB﹣AC=AF2﹣BF2 ， 进而可求BD2﹣DA2=ABAC=6．