Question

2．已知锐角△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，定义向量$\overrightarrow m$=（2sinB，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow n$=（${2{{cos}^2}\frac{B}{2}$-1，cos2B），且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$．
（1）求角B的大小；
（2）求函数f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的单调递增区间；
（3）如果b=4，求△ABC的面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用向量的垂直关系，化简求解即可．
（2）利用两角和的正弦函数化简，通过正弦函数的单调性求解即可．
（3）利用三角形的面积，以及两角和的正弦函数求解范围即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m$=（2sinB，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow n$=（${2{{cos}^2}\frac{B}{2}$-1，cos2B），$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，
∴2sinBcosB+$\sqrt{3}$cos 2B=0，即sin2B=-$\sqrt{3}$cos2B，
∴tan2B=-$\sqrt{3}$，又B为锐角，∴2B∈（0，π），
∴2B=$\frac{2π}{3}$，B=$\frac{π}{3}$，
（2）∴f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），
解得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间是：[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z），
（3）由（1）知B=$\frac{π}{3}$，b=4，
∵$S△ABC=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{16\sqrt{3}}}{3}sinAsin（\frac{2π}{3}-A）$=$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}sin（{2A-\frac{π}{6}}）+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
∵$A∈（{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}）$，
∴$S△ABC∈（{\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，4\sqrt{3}}]$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，向量的数量积的应用，考查计算能力．