Question

2．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$的定义域为（-1，1），满足f（-x）=-f（x），且f（${\frac{1}{2}}$）=$\frac{2}{5}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（x²-1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）根据条件即可得出f（x）为奇函数，原点有定义，从而f（0）=0，得出b=0，再由f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$即可求出a=1；
（2）根据增函数的定义，设任意的-1＜x₁＜x₂＜1，然后作差，通分，证明f（x₁）＜f（x₂），从而便得出f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）根据f（x）为奇函数便可得出f（x²-1）＜-f（x），由f（x）在（-1，1）上为增函数即可得到不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-1＜{x}^{2}-1＜1}\\{-1＜x＜1}\\{{x}^{2}-1＜-x}\end{array}\right.$，解该不等式组便可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）由题意知，f（x）为奇函数；
∴f（0）=b=0，则$f（x）=\frac{ax}{{1+{x^2}}}$；
又$f（\frac{1}{2}）=\frac{\frac{a}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}$；
∴a=1；
∴$f（x）=\frac{x}{{1+{x^2}}}$；
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}-\frac{{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$；
又-1＜x₁＜x₂＜1；
∴${x_1}-{x_2}＜0，1-{x_1}{x_2}＞0，1+x_1^2＞0，1+x_2^2＞0$；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0；
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）由f（x²-1）+f（x）＜0得f（x²-1）＜-f（x）；
即f（x²-1）＜f（-x）；
由（2）知f（x）在（-1，1）上是增函数，则$\left\{{\begin{array}{l}{-1＜{x^2}-1＜1}\\{-1＜x＜1}\\{{x^2}-1＜-x}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}＜x＜0，或0＜x＜\sqrt{2}}\\{-1＜x＜1}\\{\frac{{-1-\sqrt{5}}}{2}＜x＜\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}}\end{array}}\right.}\right.$$⇒-1＜x＜0或0＜x＜\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$；
∴原不等式的解集为$（{-1，0}）∪（{0，\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}}）$．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，f（0）=0，增函数的定义，以及根据增函数定义证明一个函数为增函数的方法和过程，根据函数单调性解不等式的方法．