Question

17．已知函数f（x）=log₂（x+1），当点（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点（$\frac{x}{3}$，$\frac{y}{2}$）是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g（x）的表达式；
（2）当g（x）-f（x）≥0时，求x的取值范围．
（3）若方程f（x）-g（x）-m=0有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令$\frac{x}{3}$=m，$\frac{y}{2}$=n，由题设条件知n=$\frac{1}{2}$log₂（3m+1），再由（m，n）是函数y=g（x）的图象上的点，可知函数y=g（x）的表达式；
（2）由题意知$\frac{1}{2}$log₂（3x+1）≥log₂（x+1），由对数函数的性质可得$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＞0}\\{x+1＞0}\\{3x+1≥（x+1）^{2}}\end{array}\right.$，解得0≤x≤1．
（3）由题疫条件知g（x）-f（x）=$\frac{1}{2}$log₂（3x+1）-log₂（x+1）=$\frac{1}{2}$log₂$\frac{3x+1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{1}{2}$log₂$\frac{9}{（3x+1）+\frac{4}{3x+1}+4}$≤$\frac{1}{2}$log₂$\frac{9}{8}$．由此可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）令$\frac{x}{3}$=m，$\frac{y}{2}$=n，则x=3m，y=2n，由点（x，y）在y=log₂（x+1）的图象上可得2n=log₂（3m+1），故n=$\frac{1}{2}$log₂（3m+1），
又（m，n）是函数y=g（x）的图象上的点，故g（x）=$\frac{1}{2}$log₂（3x+1）（x＞-$\frac{1}{3}$）．
（2）因为g（x）-f（x）≥0，所以$\frac{1}{2}$log₂（3x+1）≥log₂（x+1）．
由对数函数的性质可得$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＞0}\\{x+1＞0}\\{3x+1≥（x+1）^{2}}\end{array}\right.$，解得0≤x≤1．
（3）g（x）-f（x）=$\frac{1}{2}$log₂（3x+1）-log₂（x+1）=$\frac{1}{2}$log₂$\frac{3x+1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{1}{2}$log₂$\frac{9}{（3x+1）+\frac{4}{3x+1}+4}$≤$\frac{1}{2}$log₂$\frac{9}{8}$．
因为方程f（x）-g（x）-m=0有两个不同的实数根，
所以-m＜$\frac{1}{2}$log₂$\frac{9}{8}$，
所以m＞-$\frac{1}{2}$log₂$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查根的存在性及判断，考查函数解析式的求解，考查对数函数的性质，正确转化是关键．