Question

【题目】在六条棱长分别为2、3、3、4、5、5的所有四面体中，最大的体积是多少？证明你的结论．

Answer 1

【答案】；证明见解析

【解析】

根据三角形两边之差小于第三边这个性质，按题设数据，所有一边是2的三角形其余两边只可能是（A）3,3；（B）5,5；（C）4，5；（D）3,4，从而题设四面体中，以棱长为2的棱为公共边的两个面的其余两边只可能是下列三种情形：（I）（A）与（B），（II）（A）与（C）；（III）（B）与（C），于是问题转化为对棱长分别为（I）（II）（III）的四面体来计算体积的最大值（或估计）.

由三角形两边之差小于第三边这个性质，按题设数据，所有一边是2的三角形其余两边只可能是（A）3,3；（B）5,5；（C）4，5；（D）3,4，从而题设四面体中，以棱长为2为公共边的两个面的其余两边只可能是下列三种情形：（I）（A）与（B），（II）（A）与（C）；（III）（B）与（C）.

对情形（I）（A）与（B），四边形沿AB折叠后使，则由得，即是四面体以为底面的高，

∴体积为；

对情形（II）（A）与（C）四边形沿AB折叠后使，有两种情形，它们体积相等，记为，∵，∴为钝角，与平面斜交，

∴；

对情形（III），（B）与（C），这样的四面体也有两个，体积也相等，记为，

.

∴最大体积为.