Question

【题目】定义在R上的函数f（x）＞0，对任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x） f（y）成立，且当x＞0时，f（x）＞1．

（1）求f（0）的值；

（2）求证f（x）在R上是增函数；

（3）若f（k3x）f（3x﹣9x﹣2）＜1对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f（0）＝1；（2）见解析；（3）k＜

【解析】

（1）利用赋值法求f（0）的值；

（2）根据增函数定义进行证明，其中利用条件“当x＞0时，f（x）＞1”比较大小是解题关键；

（3）先根据单调性化简不等式得32x﹣（1+k）3x+2＞0，再分离变量转化为求对应函数y=3x+最值,最后根据基本不等式求函数最值，即得结果.

（1）令x＝0，y＝1，则f（0+1）＝f（0）f（1），所以f（1）＝f（0）f（1），

∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（1）＞1，∴f（0）＝1；

（2）设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x2﹣x1）＞1

∴f（x2）＝f（x2﹣x1+x1）＝f（x2﹣x1）f（x1）＞f（x1），∴f（x）在R上是增函数；

（3）∵f（x）在R上是增函数，f（k3x） f（3x﹣9x﹣2）＝f（k 3x+3x﹣9x﹣2）＜f（0），

∴32x﹣（1+k）3x+2＞0对任意x∈R成立．∴1+k＜3x+，∵3x＞0，∴3x+≥.

∴k＜．