【题目】在平面直角坐标系中,已知点
,
,
.
(1)求以线段为邻边的平行四边形的另一顶点
的坐标;
(2)求证:.
【答案】(1)(1,4) (2)详见解析
【解析】
(1)利用向量坐标表示,从而得解;
(2)利用向量坐标表示,证明向量的数量积为0即可.
(1) 解:法1:∵=(3,5),设D(x,y),则
=(x+2,y+1),
∵=
,∴
即D(1,4);
法2:因为B、C的中点坐标为(0,1),设D(x,y)
则A、D的中点坐标为
因为平行四边形的对角线互相平分,所以,
解得
即D(1,4)
(2)证明: 法1:=(-2,-1),∵(
+
)·
=
·
+
2,
而·
=3×(-2)+5×(-1)=-11,
2=5
代入上式得(+
)·
=0
所以(+
)⊥
法2:因为=(3,5),
=(-2,-1),
所以+
=
所以(+
)·
=
·(-2,-1)=0
所以(+
)⊥
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【题目】在公比为2的等比数列{an}中,a2与a3的等差中项是9 .
(1)求a1的值;
(2)若函数y=|a1|sin( x+φ),|φ|<π,的一部分图象如图所示,M(﹣1,|a1|),N(3,﹣|a1|)为图象上的两点,设∠MPN=β,其中P与坐标原点O重合,0<β<π,求tan(φ﹣β)的值.
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【题目】已知函数f(x)=ex﹣x2﹣ax.
(1)若曲线y=f(x)在点x=0处的切线斜率为1,求函数f(x)在[0,1]上的最值;
(2)令g(x)=f(x)+ (x2﹣a2),若x≥0时,g(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当a=0且x>0时,证明f(x)﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1.
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【题目】已知函数是偶函数.
(1)求实数的值;
(2)当时,函数
存在零点,求实数
的取值范围;
(3)设函数,若函数
与
的图像只有一个公共点,求实数
的取值范围.
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【题目】某校的学生文娱团队由理科组和文科组构成,具体数据如表所示:
组别 | 文科 | 理科 | ||
性别 | 男生 | 女生 | 男生 | 女生 |
人数 | 3 | 1 | 3 | 2 |
学校准备从该文娱团队中选出4人到某社区参加大型公益活动演出,每选出一名男生,给其所在的组记1分;每选出一名女生,给其所在的组记2分,要求被选出的4人中文科组和理科组的学生都有.
(I)求理科组恰好得4分的概率;
(II)记文科组的得分为X,求随机变量X的分布列和数学期望EX.
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【题目】如图,在三棱锥中,已知
都是边长为
的等边三角形,
为
中点,且
平面
,
为线段
上一动点,记
.
(1)当时,求异面直线
与
所成角的余弦值;
(2)当与平面
所成角的正弦值为
时,求
的值.
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【题目】设不等式x2+y2≤4确定的平面区域为U,|x|+|y|≤1确定的平面区域为V.
(1)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”,在区域U内任取3个整点,求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率;
(2)在区域U内任取3个点,记这3个点在区域V的个数为X,求X的分布列和数学期望.
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