Question

如图（1），正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E₁，F₁分别是边A₁B₁、C₁D₁的中点．沿平面BCF₁E₁将正方体切割成左右两个几何体，再将右边的几何体补到左边，形成如图（2）的几何体．
（1）判断直线A₁F₁与直线EC是否平行，并加于证明；
（2）求直线FD₁与平面BCF₁E₁所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）假设直线A₁F₁∥EC，过F₁作CD的垂线，垂足为N，利用正方体的性质得到A₁F₁∥AN，得到AN∥EC，而AN与EC相交，得到矛盾；
（Ⅱ）连接AE₁，过A作BE₁的垂线，垂足为G，得到∠AE₁G是直线FD₁与平面BCF₁E₁所成角，计算即可．

解答： 解：（Ⅰ）直线A₁F₁与直线EC平行；
证明：假设直线A₁F₁∥EC，过F₁，作CD的垂线，垂足为N，
因为上下底面平行，所以则A₁F₁∥AN，所以AN∥EC，与A_N与EC相交矛盾，
所以假设不成立，即直线A₁F₁与直线EC不平行；
（Ⅱ）连接AE₁，因为点E₁，F₁分别是边A₁B₁C₁D₁的中点，
AE₁∥FD₁，
过A作BE₁的垂线，垂足为G，因为几何体是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
所以平面BCF₁E₁⊥平面ABE₁A₁，
所以AG⊥平面平面BCF₁E₁，
所以∠AE₁G是直线FD₁与平面BCF₁E₁所成角，
因为正方体棱长为2，所以AE₁=BE₁=

5

，AG=

2×2

5

，
所以sin∠AE₁G=

AG

AE1

=

4 5 5

5

=

4

5

，
所以直线FD₁与平面BCF₁E₁所成角的正弦值

4

5

．

点评：本题考查了空间直线与直线的位置关系以及直线与平面所成的角的求法；关键是将空间角转为平面角．