Question

在△ABC中，A，B，C分别是边a，b，c所对应的角，且cosA=

4

5

．
（Ⅰ）求sin²

A+B

2

+cos2A的值；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）根据二倍角的余弦公式化简sin2

B+C

2

+cos2A，再把cosA=

4

5

代入求值；
（Ⅱ）根据题意和余弦定理得：

8

5

bc+4=b2+c2≥2bc，求出bc 的范围，再代入三角形的面积公式求出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，cosA=

4

5

，且A+B+C=π，
所以sin2

B+C

2

+cos2A=

1-cos(B+C)

2

+cos2A
=

1+cosA

2

+2cos2A-1=

1+ 4 5

2

+2×(

4

5

)2-1=

59

50

…6分
（Ⅱ）由cosA=

4

5

得，sinA=

3

5

，…6分
所以S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

10

bc…8分
又a=2，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=4，…10分
即：

8

5

bc+4=b2+c2≥2bc，…12分
则bc≤10，
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

10

bc≤3，当且仅当b=c时等号成立…14分
则面积的最大值为3．…15分．

点评：本题考查二倍角的余弦公式，余弦定理，三角形的面积公式，以及不等式的应用，属于中档题．