Question

5．设函数f（x）=x²+ax+b，若方程f（x）=x（b∈Z）在（1，3）上存在两个不等的实根，求b的最大值．

Answer 1

分析 根据方程f（x）=x（b∈Z）在（1，3）上存在两个不等的实根，利用参数分离法求出b的表达式即可．

解答 解：由f（x）=x（b∈Z）得f（x）=x²+ax+b=x，
即b=-x²+（1-a）x（b∈Z），对称轴为x=$\frac{1-a}{2}$，
若方程f（x）=x（b∈Z）在（1，3）上存在两个不等的实根，
∴对称轴满足1＜$\frac{1-a}{2}$＜3，
∵b∈Z，∴必有$\frac{1-a}{2}$=2，即a=-3，
此时函数的b=-x²+4x=-（x-2）²+4，
则b的最大值为4．

点评 本题主要考查一元二次函数最值的应用，求出对称轴是解决本题的关键．