Question

1．已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y²-8x+1）+f（x-6y+10）≤0，则当y≥3时，函数F（x，y）=x²+y²的最小值与最大值的和为62．

Answer 1

分析 运用奇偶性的定义和求导，判断单调性，可得f（x）在R上为增函数．且为奇函数．由条件可得f（y²-8x+1）≤-f（x-6y+10）=f（-x+6y-10），则有y²-8x+11≤-x²+6y-10，运用配方可得（x-4）²+（y-3）²≤4，由圆的知识，及F（x，y）=x²+y²的几何意义是（x，y）与原点的距离的平方，即可得到最值之和．

解答 解：易知f（x）=x+sinx（x∈R），
f（-x）=-x+sin（-x）=-（x+sinx）=-f（x），
则f（x）是奇函数，又f′（x）=1+cosx≥0，
则f（x）在R上为增函数．
所以f（y²-8x+1）+f（x²-6y+10）≤0，
即为f（y²-8x+1）≤-f（x²-6y+10）=f（-x²+6y-10），
则有y²-8x+11≤-x²+6y-10
即x²+y²-8x-6y+21≤0，即为（x-4）²+（y-3）²≤4，
又y≥3，则（x，y）对应可行域是以（4，3）为圆心，2为半径的上半圆面，
函数F（x，y）=x²+y²的几何意义是（x，y）与原点的距离的平方．
连接点（2，3）和（0，0）的距离为$\sqrt{13}$，连接原点和圆心（4，3）延长交半圆于P，
则PO的距离为$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$+2=7，
即有F（x，y）_min=13，F（x，y）_max=49，其和为62．
故答案为：62．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，同时考查圆的方程，两点的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．