Question

已知函数y=sin²x+

3

2

sin2x+2cos²x，求
（1）函数的最小值；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

4

]，求y的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等变换公式，化简函数，即可求出函数f（x）的最小值；
（2）根据x∈[-

π

6

，

π

4

]，可得2x-

π

6

的范围，从而可求sin（2x-

π

6

）的范围，进而可求函数的最大值和最小值．

解答：解：（1）函数y=sin²x+

3

2

sin2x+2cos²x
=

3

2

sin2x+cos²x+1
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

=sin（2x-

π

6

）+

3

2

∴函数f（x）的最小值是

1

2

；
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

π

3

]
∴sin（2x-

π

6

）∈[-1，

3

2

]
∴函数在x∈[-

π

6

，

π

4

]上的最大值为

3+ 3

2

，最小值为

1

2

．
y的取值范围[

1

2

，

3+ 3

2

]

点评：本题考查三角恒等变换，考查函数的性质，考查整体思维的思想，属于中档题．