Question

【题目】已知函数，且．

（1）求；（2）证明： 存在唯一的极大值点，且．

Answer 1

【答案】（1）a=1;(2)证明过程如解析；

【解析】试题分析：

(1)结合函数的解析式讨论函数的 单调性，求得函数的最小值为，据此可得；

(2)由题意构造新函数t（x）=2x-2-lnx，结合函数的特征即可证得题中的结论.

试题解析：

（1）因为f（x）=ax2-ax-xlnx=x（ax-a-lnx）（x＞0），
则f（x）≥0等价于h（x）=ax-a-lnx≥0，求导可知h′（x）= ．
则当a≤0时h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．
因为当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，
所以h（x）min=h（），
又因为h（1）=a-a-ln1=0，
所以，解得a=1；
（2）证明：由（1）可知f（x）=x2-x-xlnx，f′（x）=2x-2-lnx，
令f′（x）=0，可得2x-2-lnx=0，记t（x）=2x-2-lnx，则t′（x）=，
令t′（x）=0，解得： ，
所以t（x）在区间（0， ）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
所以t（x）min=t（）=ln2-1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，
且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，
所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0-2-lnx0=0，
所以f（x0）=x02-x0-x0lnx0=x02-x0+2x0-2x02=x0-x02，
由x0＜可知f（x0）＜（x0-x02）max=；
由f′（）＜0可知x0＜＜，
所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0， ）上单调递减，
所以f（x0）＞f（）=；
综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e-2＜f（x0）＜2-2．