Question

是否存在常数a，b，使等式

12

1×3

+

22

3×5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

an2+n

bn+2

对于一切n∈N^*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？

Answer 1

分析：假设存在常数a，b，使等式对于一切n∈N^*都成立．取n=1，2可得

1 3 = a+1 b+2 1 3 + 4 15 = 4a+2 2b+2

，解得a，b．再利用数学归纳法证明即可．

解答：解：若存在常数a，b，使等式对于一切n∈N^*都成立．
取n=1，2可得

1 3 = a+1 b+2 1 3 + 4 15 = 4a+2 2b+2

，解得a=1，b=4．
则

12

1×3

+

22

3×5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n2+n

4n+2

对于一切n∈N^*都成立．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，显然成立．
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，等式成立，即

12

1×3

+

22

3×5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

=

k2+k

4k+2

．
则当n=k+1时，

12

1×3

+

22

3×5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+1)(2k+3)

=

k2+k

4k+2

+

(k+1)2

(2k+1)(2k+3)

=(k+1)•

k(2k+3)+2(k+1)

2(2k+1)(2k+3)

=(k+1)•

(2k+1)(k+2)

2(2k+1)(2k+3)

=

(k+1)(k+2)

2(2k+3)

=

(k+1)2+(k+1)

4(k+1)+2

．
也就是说当n=k+1时，等式也成立．
综上所述：可知等式对于一切n∈N^*都成立．

点评：熟练掌握数学归纳法和待定系数法是解题的关键．