Question

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则

|MN|

|AB|

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．

解答： 解：设|AF|=a，|BF|=b，
由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos60°=a²+b²-ab
配方得，|AB|²=（a+b）²-3ab，
又∵ab≤（

a+b

2

） ²，
∴（a+b）²-3ab≥（a+b）²-

3

4

（a+b）²=

1

4

（a+b）²
得到|AB|≥

1

2

（a+b）．
∴

|MN|

|AB|

≤1，即

|MN|

|AB|

的最大值为1．
故答案为：1

点评：本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求

|MN|

|AB|

的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．