Question

【题目】已知椭圆的短轴长为4，离心率为，斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点（，异于椭圆的顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线是否过定点，如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）过定点，.

【解析】

（1）根据椭圆的简单几何性质可知，，再结合即可求出；

（2）依题设直线：，，，联立直线和椭圆方程求出，，再根据以为直径的圆过椭圆的右顶点可得，代入化简可得，求出，即可知直线过定点．

（1）由题可知，，而，解得．

所以椭圆的标准方程为.

（2）由题设直线：，，，，

联立直线方程与椭圆方程得：，

，，，

因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，

所以，将，代入化简可得，，解得或.

当时，直线与椭圆的一个交点为右顶点，与题意不符，舍去．

∴，即直线过定点.