【题目】已知椭圆的左顶点为
,左、右焦点分别为
,离心率为
,
是椭圆上的一个动点(不与左、右顶点重合),且
的周长为6,点
关于原点的对称点为
,直线
交于点
.
(1)求椭圆方程;
(2)若直线与椭圆交于另一点
,且
,求点
的坐标.
【答案】(1);(2)
或
【解析】
(1)根据的周长为
,结合离心率,求出
,即可求出方程;
(2)设,则
,求出直线
方程,若
斜率不存在,求出
坐标,直接验证是否满足题意,若
斜率存在,求出其方程,与直线
方程联立,求出点
坐标,根据
和
三点共线,将点
坐标用
表示,
坐标代入椭圆方程,即可求解.
(1)因为椭圆的离心率为,
的周长为6,
设椭圆的焦距为,则
解得,
,
,
所以椭圆方程为.
(2)设,则
,且
,
所以的方程为
①.
若,则
的方程为
②,由对称性不妨令点
在
轴上方,
则,
,联立①,②解得
即
.
的方程为
,代入椭圆方程得
,整理得
,
或
,
.
,不符合条件.
若,则
的方程为
,
即③.
联立①,③可解得所以
.
因为,设
所以,即
.
又因为位于
轴异侧,所以
.
因为三点共线,即
应与
共线,
所以,即
,
所以,又
,
所以,解得
,所以
,
所以点的坐标为
或
.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
(
),圆
(
),若圆
的一条切线
与椭圆
相交于
两点.
(1)当,
时,若点
都在坐标轴的正半轴上,求椭圆
的方程;
(2)若以为直径的圆经过坐标原点
,探究
是否满足
,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线的焦点到准线的距离为
,直线
与抛物线
交于
,
两点,过这两点分别作抛物线
的切线,且这两条切线相交于点
.
(1)若点的坐标为
,求
的值;
(2)设线段的中点为
,过
的直线
与线段
为直径的圆相切,切点为
,且直线
与抛物线
交于
,
两点,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程是
(
是参数).以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
,其倾斜角为
.
(Ⅰ)证明直线恒过定点
,并写出直线
的参数方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若直线与曲线
交于
,
两点,求
的值.
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【题目】已知抛物线上一点
到焦点
的距离
.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点引圆
的两条切线
,切线
与抛物线
的另一交点分别为
,线段
中点的横坐标记为
,求
的取值范围.
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【题目】如图,已知直四棱柱的底面是直角梯形,
,
,
,
分别是棱
,
上的动点,且
,
,
.
(1)证明:无论点怎样运动,四边形
都为矩形;
(2)当时,求几何体
的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的短轴长为4,离心率为
,斜率不为0的直线
与椭圆相交于
,
两点(
,
异于椭圆的顶点),且以
为直径的圆过椭圆的右顶点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线是否过定点,如果过定点,求出该定点的坐标;如果不过定点,请说明理由.
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