【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
(
),圆
(
),若圆
的一条切线
与椭圆
相交于
两点.
(1)当,
时,若点
都在坐标轴的正半轴上,求椭圆
的方程;
(2)若以为直径的圆经过坐标原点
,探究
是否满足
,并说明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)利用点到直线的距离公式可求得,由点
都在坐标轴的正半轴上,即可求得
和
的值,求得椭圆方程;(2)由以
为直径的圆经过点
,可得
,即
,由
在直线
上,可将
用
表示,然后联立直线与椭圆的方程结合韦达定理得
,化简可得结论.
试题解析:(1)∵直线与
相切,∴
.
由,
,解得
.
∵点都在坐标轴正半轴上,
∴.
∴切线与坐标轴的交点为
,
.
∴,
.
∴椭圆的方程是
.
(2)的关系满足
.
证明如下:设,
∵以为直径的圆经过点
,
∴,即
.
∵点在直线
上,
∴.
∴ (*)
由消去
,得
.
即
显然
∴由一元二次方程根与系数的关系,得
代入(*)式,得.
整理,得.
又由(1),有.
消去,得
∴
∴满足等量关系
.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是直角梯形,
,
,
,
,
是等边三角形,且侧面
底面
,
分别是
,
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成的二面角(锐角)的余弦值.
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【题目】某校高三数学竞赛初赛考试后,对部分考生的成绩进行统计(考生成绩均不低于90分,满分150分),将成绩按如下方式分成六组,若第四、五、六组的人数依次成等差数列,且第六组有4人.
(1)请补充完整频率分布直方图,并估计这组数据的平均数M;
(2)现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人,记他们的成绩分别为.若
,则称此二人为“黄金帮扶组”.试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率
;
(3)以此样本的频率当做概率,现随机在这所有考生中选出3名学生,求成绩不低于120分的人数的分布列及期望.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
(
),圆
(
),若圆
的一条切线
与椭圆
相交于
两点.
(1)当,
时,若点
都在坐标轴的正半轴上,求椭圆
的方程;
(2)若以为直径的圆经过坐标原点
,探究
之间的等量关系,并说明理由.
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【题目】小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐成一排.若小 明的父母至少有一人与小明相邻,则不同的坐法总数为________.
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【题目】已知在平面直角坐标系中, 是坐标原点,动圆
经过点
,且与直线
相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程
;
(2)过的直线
交曲线
于
两点,过
作曲线
的切线
,直线
交于点
,求
的面积的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=|x-a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
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