Question

【题目】已知函数.

(1)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；

(2)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

Answer 1

【答案】(1) 3x﹣y﹣9=0;(2) 若a＞0时, 在（﹣∞，0）, （a，+∞）上单调递增, 在（0，a）上单调递减, 当x=a时，函数有极小值，极小值为g（a）=﹣a3﹣sina

当x=0时，有极大值，极大值为g（0）=﹣a; 若a＜0时, g（x）在（﹣∞，a）上单调递增, 在（0，a）上单调递减，当x=a时，函数有极大值，极大值为g（a）=﹣a3﹣sina

当x=0时，有极小值，极小值为g（0）=﹣a; 当a=0时, g（x）在（﹣∞，0）,（0，+∞）上单调递增, 无极值.

【解析】试题分析：试题分析：

试题解析：（1）根据导数的几何意义即可求出曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程，（2）先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值.

试题解析：

（1）当a=2时，f（x）=x3﹣x2，

∴f′（x）=x2﹣2x，

∴k=f′（3）=9﹣6=3，f（3）=×27﹣9=0，

∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程y=3（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0

（2）函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx=x3﹣ax2+（x﹣a）cosx﹣sinx，

∴g′（x）=（x﹣a）（x﹣sinx），

令g′（x）=0，解得x=a，或x=0，

①若a＞0时，当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，

当x＞a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（a，+∞）上单调递增，

当0＜x＜a时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（0，a）上单调递减，

∴当x=a时，函数有极小值，极小值为g（a）=﹣a3﹣sina

当x=0时，有极大值，极大值为g（0）=﹣a，

②若a＜0时，当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故若a＜0时，

当x＜a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，a）上单调递增，

当a＜x＜0时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（a，0）上单调递减，

∴当x=a时，函数有极大值，极大值为g（a）=﹣a3﹣sina

当x=0时，有极小值，极小值为g（0）=﹣a

③当a=0时，g′（x）=x（x+sinx），

当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，

当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，

∴g（x）在R上单调递增，无极值．