Question

【题目】已知数列满足，．

（1）求；

（2）若，证明：数列中的任意三项不可能构成等差数列．

Answer 1

【答案】（1）．（2）答案见解析

【解析】

（1）由递推式可得，即数列是以为首项，为公比的等比数列，再结合等比数列的通项公式求解即可；

（2）先设数列中存在三项，，()按某种顺序构成等差数列，再结合等差中项的运算及指数幂的运算求解即可.

解：（1）据题意设，所以．

又因为，所以，

所以．

又，

即数列是以为首项，为公比的等比数列，

所，

所以．

（2）据（1）求解知，，所以．

假设数列中存在三项，，()按某种顺序构成等差数列．

因为数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，

所以只能有成立，

所以，

化简，得．

因为，所以为奇数，为偶数，

故不可能成立，

所以假设不成立．即数列中任意三项不可能构成等差数列．