【题目】已知抛物线的焦点到准线的距离为,直线与抛物线交于,两点,过这两点分别作抛物线的切线,且这两条切线相交于点.
(1)若点的坐标为,求的值;
(2)设线段的中点为,过的直线与线段为直径的圆相切,切点为,且直线与抛物线交于,两点,求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由定义可得,设切线的方程为,代入,得,由得,分类讨论即可求出答案;
(2)由(1)可得点以线段为直径的圆的方程为,根据对称性,不妨设直线的斜率为正数,由可求得,联立直线与抛物线方程并整理得,设,,利用韦达定理即可求出答案.
解:(1)∵抛物线的焦点到准线的距离为,
∴,故抛物线的方程为,
设切线的方程为,
代入,得,
由得,
当时,点的横坐标为,则,
当时,同理可得,
综上可得;
(2)由(1)知,,,
∴以线段为直径的圆的方程为,
根据对称性,不妨设直线的斜率为正数,
∵为直线与圆的切点,
∴,,∴,
∴,,
∴直线的方程为,
由,整理得,
∵,∴,
设,,则,,
∴,
∵,∴,
∴,
∴.
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【题目】从某校高三年级中随机抽取100名学生,对其高校招生体检表中的视图情况进行统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知从这100人中随机抽取1人,其视力在的概率为.
(1)求的值;
(2)若某大学专业的报考要求之一是视力在0.9以上,则对这100人中能报考专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人,调查他们对专业的了解程度,现从这8人中随机抽取3人进行是否有意向报考该大学专业的调查,记抽到的学生中视力在的人数为,求的分布列及数学期望.
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【题目】某市2019年引进天然气作为能源,并将该项目工程承包给中昱公司.已知中昱公司为该市铺设天然气管道的固定成本为35万元,每年的管道维修此用为5万元.此外,该市若开通千户使用天然气用户,公司每年还需投入成本万元,且.通过市场调研,公司决定从每户天然气新用户征收开户费用2500元,且用户开通天然气后,公司每年平均从每户使用天然气的过程中获利360元.
(1)设该市2019年共发展使用天然气用户千户,求中昱公司这一年利润(万元)关于的函数关系式;
(2)在(1)的条件下,当等于多少最大?且最大值为多少?
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【题目】某啤酒厂要将一批鲜啤酒用汽车从所在城市甲运至城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,运费由厂家承担.若厂家恰能在约定日期(×月×日)将啤酒送到,则城市乙的销售商一次性支付给厂家40万元;若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给厂家2万;若在约定日期后送到,每迟到一天销售商将少支付给厂家2万元.为保证啤酒新鲜度,汽车只能在约定日期的前两天出发,且只能选择其中的一条公路运送.已知下表内的信息:
汽车行驶路线 | 在不堵车的情况下到达城市乙所需时间(天) | 在堵车的情况下到达城市乙所需时间(天) | 堵车的概率 | 运费(万元) |
公路1 | 1 | 4 | 2 | |
公路2 | 2 | 3 | 1 |
(1)记汽车选择公路1运送啤酒时厂家获得的毛收入为X(单位:万元),求X的分布列和EX;
(2)若,,选择哪条公路运送啤酒厂家获得的毛收人更多?
(注:毛收入=销售商支付给厂家的费用-运费).
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【题目】为了响应党的十九大所提出的教育教学改革,某校启动了数学教学方法的探索,学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班,每班40人,甲班按原有传统模式教学,乙班实施自主学习模式.经过一年的教学实验,将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数,两个班学生的平均成绩均在,按照区间,,,,进行分组,绘制成如下频率分布直方图,规定不低于80分(百分制)为优秀.
0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 |
(1)完成表格,并判断是否有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”;
甲班 | 乙班 | 合计 | |
大于等于80分的人数 | |||
小于80分的人数 | |||
合计 |
(2)从乙班,,分数段中,按分层抽样随机抽取7名学生座谈,从中选三位同学发言,记来自发言的人数为随机变量,求的分布列和期望.
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【题目】已知椭圆的左顶点为,左、右焦点分别为,离心率为,是椭圆上的一个动点(不与左、右顶点重合),且的周长为6,点关于原点的对称点为,直线交于点.
(1)求椭圆方程;
(2)若直线与椭圆交于另一点,且,求点的坐标.
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