【题目】已知函数
(1)若函数在
处取得极值1,证明:
(2)若恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见详解;(2)
【解析】
(1)求出函数的导函数
,由
在
处取得极值1,可得
且
.解出
,构造函数
,分析其单调性,结合
,即可得到
的范围,命题得证;
(2)由分离参数,得到
恒成立,构造函数
,求导函数
,再构造函数
,进行二次求导
.由
知
,则
在
上单调递增.根据零点存在定理可知
有唯一零点
,且
.由此判断出
时,
单调递减,
时,
单调递增,则
,即
.由
得
,再次构造函数
,求导分析单调性,从而得
,即
,最终求得
,则
.
解:(1)由题知,
∵函数在
,处取得极值1,
,且
,
,
,
令,则
为增函数,
,即
成立.
(2)不等式恒成立,
即不等式恒成立,即
恒成立,
令,则
令,则
,
,
,
在
上单调递增,且
,
有唯一零点
,且
,
当时,
,
,
单调递减;
当时,
,
,
单调递增.
,
由整理得
,
令,则方程
等价于
而在
上恒大于零,
在
上单调递增,
.
,
∴实数的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左顶点为
,左、右焦点分别为
,离心率为
,
是椭圆上的一个动点(不与左、右顶点重合),且
的周长为6,点
关于原点的对称点为
,直线
交于点
.
(1)求椭圆方程;
(2)若直线与椭圆交于另一点
,且
,求点
的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(""表示一根阳线,"
"表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率为_______.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着我国综合国力的不断增强,不少综合性娱乐场所都引进了“摩天轮”这一娱乐设施.(如图1)有一半径为40m的摩天轮,轴心距地面50m,摩天轮按逆时针方向做匀速旋转,转一周需要3min.点
与点
都在摩天轮上,且点
相对于点
落后1min,当点
在摩天轮的最低点处时开始计时,以轴心
为坐标原点,平行于地面且在摩天轮所在平面内的直线为
轴,建立图2所示的平面直角坐标系.
(1)若,求点
的纵坐标关于时间
的函数关系式
;
(2)若,求点
距离地面的高度关于时间
的函数关系式
,并求
时,点
离地面的高度(结果精确到0.1,计算所用数据:
)
(3)若,当
,
两点距离地面的高度差不超过
时,求时间
的取值范围.
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