Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，其倾斜角为．

（Ⅰ）证明直线恒过定点，并写出直线的参数方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若直线与曲线交于，两点，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析，（是参数）；（Ⅱ）．

【解析】

（1）利用极坐标与直角坐标的互化将直线方程化为普通方程，从而可求出定点，再将直线方程写成参数方程的形式即可.

（2）将曲线化为直角坐标方程，再将直线的参数方程代入曲线方程，整理成关于的一元二次方程的形式，利用韦达定理以及参数的几何意义即可求解.

（Ⅰ）由极坐标与直角坐标互化公式

可得直线的方程为：，即

故直线恒过定点

所以直线的参数方程为（是参数）

（Ⅱ）由曲线的参数方程（是参数）

得曲线的普通方程：，即

将代入上式整理得：

设两根为，则

由两点对应的参数分别为，故

故的值为．