Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
（1）求证：BD⊥平面ACC₁A；
（2）若O是A₁C₁ 的中点，求证：AO∥平面BDC₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直线与平面垂直的判定定理直接求证BD⊥平面ACC₁A；
（2）O是A₁C₁ 的中点，连结底面AC与BD的交点P与C₁，证明AO∥PC₁，即可求证：AO∥平面BDC₁．
解答：（12分）证明：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，易知BD⊥AC，A₁A⊥平面ABCD
∵BD?平面ABCD
∴BD⊥A₁A
而AC∩A₁A=A
∴BD⊥平面ACC₁A…（6分）
（2）连结底面AC与BD的交点P与C₁，因为P是AC的中点，O是A₁C₁ 的中点，
所以四边形APC₁O是平行四边形，所以AO∥PC₁，
又PC₁，?平面BDC₁，AO?平面BDC₁…（11分）
所以AO∥平面BDC₁．（12分）
点评：本题考查直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查逻辑推理能力，空间想象能力．