Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则下列四个命题：
①P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②P在直线BC₁上运动时，直线AP⊥A₁D不变；
③P在直线BC₁上运动时，直线AP⊥DB₁不变；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则M点的轨迹是过D₁点的直线
其中真命题的编号是

①②④

（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析：①易知BC₁∥平面AD₁C，所以BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离相等，底不变，所以体积不变；
②由给出的图形是正方体，易证A₁D⊥平面ABC₁D₁，而AP?面ABC₁D₁，∴P在直线BC₁上运动时，直线AP⊥A₁D不变；
③正方体中，体对角线DB₁⊥面ACD₁，则DB₁不会垂直于面ABC₁D₁，P在直线BC₁上运动时，AP与DB₁不垂直；
④M在平面A₁B₁C₁D₁内，且到点D和C₁距离相等，则点M的轨迹是DC₁的垂直平分线与面A₁B₁C₁D₁的交点，所以为线段A₁D₁所在直线．

解答：解：①∵BC₁∥平面AD₁，∴BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离相等，所以体积不变，①正确；
②∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，∴A₁D⊥AD₁，又A₁D⊥AB，AD₁∩AB=A，∴A₁D⊥平面ABC₁D₁，P在直线BC₁上运动时，始终有AP?平面ABC₁D₁，∴P在直线BC₁上运动时，直线AP⊥A₁D不变，②正确；
③∵体对角线DB₁⊥面ACD₁，则DB₁不会垂直于面ABC₁D₁，P在直线BC₁上运动时，AP与DB₁不垂直，③不正确；
④∵M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，∴M点的轨迹是DC₁的垂直平分线绕DC₁的中点旋转时与面A₁B₁C₁D₁的交点，得到的轨迹是线段A₁D₁所在直线，所以④正确．
故答案为：①②④

点评：本题主要考查三棱锥体积的转化，线面垂直，以及点的轨迹问题，考查全面，灵活，是中档题．