Question

已知定义域为R的函数f(x)=

3x+b

3x+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）讨论函数y=f（x）的单调性；
（3）若对任意的t∈[-3，3]，不等式f（2t²+4t）+f（k-t²）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：此题考查的是函数的奇偶性和单调性问题．在解答时可以充分利用解析式的特点和性质．对（1）可以利用奇函数的定义将问题转化为恒成立问题，利用对应系数相等获得解答，也可一通过奇函数在原点有意义时，f（0）=0入手解答；
对（2）直接利用求导公式求导，分析导函数的特点即可获得解答；
（3）可以首先将f（2t²+4t）+f（k-t²）＜0结合奇偶性转化为f（2t²+4t）＜f（-k+t²），从而转化出-k＞t²+4t再结合t的范围即可获得解答．

解答：解：方法一：
（1）由定义在R上的函数f(x)=

3x+b

3x+a

是奇函数得对一切x∈R，f（x）+f（-x）=0恒成立
即

3x+b

3x+a

+

3-x+b

3-x+a

=0 即

3x+b

3x+a

+

b•3x+1

1+a•3x

=0，
整理得（a+b）（3^x）²+（ab+1）3^x+a+b=0对任意x∈R恒成立，
故

a+b=0 ab+1=0

，解得

a=1 b=-1

或

a=-1 b=1

，
又因为函数的定义域为R，故a=1，b=-1．
方法二：由题意可知f（0）=0，即1+b=0，b=-1，此时f(x)=

3x-1

3x+a

，
又由f（1）+f（-1）=0得a=1，此时f(x)=

3x-1

3x+1

，经检验满足f（-x）=-f（x）符合题意．
（2）由f(x)=

3x-1

3x+1

得f′(x)=

3xln3(3x+1)-(3x-1)3xln3

(3x+1)2

=

2•3xln3

(3x+1)2

＞0恒成立，
故函数y=f（x）在R上为增函数．
（3）函数y=f（x）为奇函数且在R上为增函数
由f（2t²+4t）+f（k-t²）＜0得f（2t²+4t）＜-f（k-t²）2t²+4t＜t²-k（12分）-k＞t²+4t=（t+2）²-4对一切x∈[-3，3]恒成立
所以-k＞{（t+2）²-4}_max，x∈[-3，3]，-k＞21，∴实数k的取值范围是k＜-21．

点评：本题考查的是函数的奇偶性和单调性问题．在解答的过程当中充分体现了恒成立思想、求导的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．