Question

（本小题满分12分）(注意:在试题卷上作答无效)

在四棱锥中，侧面底面，，底面是直角梯形，，，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设为侧棱上一点，，
试确定的值，使得二面角为.

Answer 1

解法一：
（Ⅰ）平面底面，，所以平面，………1分     
  所以,  .……2分
如图，以为原点建立空间直角坐标系.
则………3分
，，
所以，，……………4分
又由平面，可得，所以平面.……………6分
（Ⅱ）平面的法向量为，…………………………………………7分
，，
所以， ………………………………………………………………8分
设平面的法向量为，，，
由，，得
所以，，………………………………………………….……9分
所以，………………………………………………………….…10分
所以，……………………...……11分
注意到，得.   …………………………….………………12分   
法二：（Ⅰ）∵面PCD⊥底面ABCD，面PCD∩底面ABCD=CD，PD面PCD，且PD⊥CD
∴PD⊥面ABCD，………1分 又BC面ABCD，∴BC⊥PD    ①…. .…..……2分
取CD中点E，连结BE，则BE⊥CD，且BE=1
在Rt△ABD中，，在Rt△BCE中，BC=. .……………………...……4分
∵, ∴BC⊥BD   ②………………...……5分
由①、②且PD∩BD=D
∴BC⊥面PBD.            ……….………………………………………….…...……6分
（Ⅱ）过Q作QF//BC交PB于F，过F作FG⊥BD于G，连结 GQ.
∵BC⊥面PBD，QF//BC
∴QF⊥面PBD，∴FG为QG在面PBD上的射影，
又∵BD⊥FG  ∴BD⊥QG
∴∠FGQ为二面角Q-BD-P的平面角；由题意，∠FGQ="45°." …………….…...……8分
设PQ=x，易知
∵FQ//BC，∴

∵FG//PD∴………………..…...……10分
在Rt△FGQ中，∠FGQ=45°
∴FQ=FG，即   ∴……..….........……11分
∵    ∴      ∴……..…............……12分

略