Question

已知函数f（x）=e^-x（x²-2ax+4a-3），其中a∈R．
（Ⅰ）若a=1，试求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）的极大值和极小值．
（Ⅱ）对于?a∈(0，

5

4

)，求证g(x)=f(x)-

3

e3

在区间（-2，3）上有两个零点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a等于1时求函数的导数，根据导数求函数的极值，画出表格，求出单调区间
（Ⅱ）求出g（x）的导数，根据导数求函数的极值，设h（a）=g（2a-1），再根据零点存在定理证明函数的零点个数

解答：解：（Ⅰ）若a=1，则f（x）=e^-x（x²-2x+1），
∴f'（x）=-e^-x（x-1）（x-3），
由此可知
当x∈（-∞，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（1，3）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（3，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

故函数发f（x）的单调递增区间是（1，3），极大值f(3)=

4

e3

，极小值是f（1）=0．
（Ⅱ）证明：∵a∈(0，

5

4

)，∴g(-2)=e2(8a+1)-

3

e3

＞e2-

3

e3

＞0g(3)=e-3(6-2a)-

3

e3

=

3-2a

e3

＞0
而g'（x）=-e^-x[x-（2a-1）]（x-3），由于（2a-1）∈（-2，3）

x	（-2，2a-1）	2a-1	（2a-1，3）	3
g'（x）	-	0	+	0
g（x）	↘	极小值	↗	极大值

故g（x）在（-2，3）有极小值（也是最小值）g(2a-1)=e1-2a(2a-2)-

3

e3

设h（a）=g（2a-1），则h'（a）=-2e^1-2a（2a-3），由于a∈(0，

5

4

)
∴h'（a）＞0，h（a）在(0，

5

4

)上是增函数，h(a)＜h(

5

4

)=

1

2e 3 2

-

3

e3

=

e 3 2 -6

2e3

＜0
由零点存在定理知，函数g（x）在（-2，2a-1）和（2a-1，3）内各有一个零点
故函数g(x)=f(x)-

3

e3

在区间（-2，3）上有两个零点．

点评：该题考查函数的求导，利用导数求函数的极值和单调性，会使用零点存在定理，求零点的个数，注意在解答过程中要画上表格，注意零点存在的范围