Question

设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若f（1）=

3

2

，且g（x）=[f（x）-2m]•2^x在[0，+∞）上的最小值为-5，求m的值．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的性质建立方程关系，即可求k的值；
（Ⅱ）利用换元法，结合指数函数的性质建立方程关系即可求出m的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，对任意x∈R，f（-x）=-f（x），
即a^-x-（k-1）a^x=-a^x+（k-1）a^-x，
即（k-1）（a^x+a^-x）-（a^x+a^-x）=0，（k-2）（a^x+a^-x）=0，
因为x为任意实数，所以k=2．         
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=a^x-a^-x，因为f(1)=

3

2

，所以a-

1

a

=

3

2

，解得a=2．
故f（x）=2^x-2^-x，g（x）=[f（x）-2m]•2^x=（2^x）²-2m•2^x-1，
令t=2^x，由x∈[0，+∞），得t∈[1，+∞），
所以g（x）=h（t）=t²-2mt-1=（t-m）²-m²-1，t∈[1，+∞），
当m＜1时，h（t）在[1，+∞）上是增函数，
则h（t）_min=h（1）=-2m=-5，
解得m=

5

2

（舍去）．
当m≥1时，则h(t)min=-m2-1=-5，解得m=2，或m=-2（舍去）．
综上，m的值是2．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及指数函数的图象和性质，考查学生的计算能力．