Question

已知非空有限实数集S的所有非空子集依次记为S₁，S₂，S₃，…，集合S_k中所有元素的平均值记为b_k．将所有b_k组成数组T：b₁，b₂，b₃，…，数组T中所有数的平均值记为m（T）．
（1）若S={1，2}，求m（T）；
（2）若S={a₁，a₂，…，a_n}（n∈N^*，n≥2），求m（T）．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用,元素与集合关系的判断

专题：计算题

分析：（1）先求出S={1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，利用m（T）的定义求出其值
（2）利用组合数及m（T）的定义求出m（T）=

n i=1 ai+ 1 2 C 1 n-1 n i=1 ai+ 1 3 C 2 n-1 n i=1 ai+…+ 1 n C n-1 n-1 n i=1 ai

C 1 n + C 2 n + C 3 n +…+ C n n

，利用组合数的性质，化简求值．

解答： 解：（1）S={1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，
∴数组T为：1，2，

3

2

∴m（T）=

1+2+ 3 2

3

=

3

2

（2）∵S={a₁，a₂，…，a_n}
∴m（T）=

n i=1 ai+ 1 2 C 1 n-1 n i=1 ai+ 1 3 C 2 n-1 n i=1 ai+…+ 1 n C n-1 n-1 n i=1 ai

C 1 n + C 2 n + C 3 n +…+ C n n

1+ 1 2 C 1 n-1 + 1 3 C 2 n-1 +…+ 1 n C n-1 n-1

C 1 n + C 2 n + C 3 n +…+ C n n

n

i=1

ai
又∵

1

k

C

k-1 n-1

=

1

k

•

(n-1)!

(k-1)!(n-k)!

=

1

n

•

n!

(n-k)!k!

=

1

n

C

k n

∴m（T）=

1 n C 1 n + 1 n C 2 n + 1 n C 3 n +…+ 1 n C n-1 n-1

C 1 n + C 2 n + C 3 n +…+ C n n

n

i=1

ai
=

1

n

n

i

ai

点评：本题考查集合的子集及组合的应用，关键是弄清楚题中对新概念的理解，属于一道难题．