Question

已知数列{A_n}：a₁，a₂，a₃，…，a_n（n∈N^*，n≥2）满足a₁=a_n=0，且当2≤k≤n（k∈N）时，（a_k-a_k-1）²=1，记S（A_n）=

n

i=1

a_i．
（Ⅰ）写出S（A₅）的所有可能的值；      
（Ⅱ）求S（A_n）的最大值．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）根据条件，利用列举法即可写出S（A₃）的所有可能的值；      
（Ⅱ）利用数列的递推关系，求出S（A_n）的表达式，即可求出S（A_n）的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由满足条件的数列A₅的所有可能情况有：0，1，2，1，0．； 0，1，0，1，0．；0，1，0，-1，0．；0，-1，-2，-1，0.0，-1，0，1，0．；0，-1，0，-1，0．
∴S（A₅）的所有可能的值为：4，2，0，-2，-4．
（Ⅱ）由(ak-ak-1)2=1，可设a_k-a_k-1=c_k-1，则c_k-1=1或c_k-1=-1（2≤k≤n，k∈N^*），
∵a_n-a_n-1=c_n-1，
∴a_n=a_n-1+c_n-1=a_n-2+c_n-2+c_n-1=…=a₁+c₁+c₂+…+c_n-2+c_n-1．
∵a₁=a_n=0，∴c₁+c₂+…+c_n-1=0，且n为奇数，c₁，c₂，…，c_n-1是由  

n-1

2

个1和

n-1

2

个-1构成的数列．
∴S（A_n）=c₁+（c₁+c₂）+…+（c₁+c₂+…+c_n-1）=（n-1）c₁+（n-2）c₂+…+2c_n-2+c_n-1
则当c₁，c₂，…，c_n-1的前

n-1

2

项取1，后

n-1

2

项取-1时S（A_n）最大，
此时S（A_n）=(n-1)+(n-2)+…+

n+1

2

-(

n-1

2

+…+2+1)=

(n-1)2

4

．
证明如下：假设c₁，c₂，…，c_n-1的前

n-1

2

项中恰有t项cm1，cm2，…cmt取-1，
则c₁，c₂，…，c_n-1的后

n-1

2

项中恰有t项cn1，cn2，…，cnt取1，其中1≤t≤

n-1

2

，1≤mi≤

n-1

2

，

n-1

2

＜ni≤n-1，i=1，2，…，t．
∴S（A_n）=(n-1)c1+(n-2)c2+…+

n+1

2

c

n-1

2

+

n-1

2

c

n+1

2

+…+2cn-2+cn-1
=(n-1)+(n-2)+…+

n+1

2

-(

n-1

2

+…+2+1)-2[（n-m₁）+（n-m₂）+…+（n-m_t）]+2[（n-n₁）+（n-n₂）+…+（n-n_t）]
=

(n-1)2

4

-2

t

i=1

(ni-mi)＜

(n-1)2

4

．
∴S（A_n）的最大值为

(n-1)2

4

．

点评：本题主要考查数列的最值的求解，利用递推数列求出数列的通项公式是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，难度较大．