Question

已知正项数列{a_n}中，a₁=3，前n项和为S_n（n∈N^*），当n≥2时，有

Sn

-

Sn-1

=

3

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记T_n是数列{b_n}的前n项和，若

bn

是

1

an

，

1

an+1

的等比中项，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出

Sn

=

3

n，从而得到Sn=3n2，由此能求出a_n=6n-3，n∈N^*．
（2）由已知条件推导出bn=

1

anan+1

=

1

6

(

1

6n-3

-

1

6n+3

)，由此利用裂项求和法能求出T_n．

解答： 解：（1）∵

Sn

-

Sn-1

=

3

，
∴数列{

Sn

}是首项为

S1

=

a1

=

3

，公差为

3

的等差数列，…（1分）
∴

Sn

=

3

+(n-1)•

3

=

3

n，…（2分）
∴Sn=3n2，…（3分）
∴a_n=S_n-S_n-1，n≥2，…（4分）
当n=1时，上式也成立，
∴a_n=6n-3，n∈N^*．…（6分）
（2）∵

bn

是

1

an+1

，

1

an

的等比中项，
∴bn=

1

anan+1

=

1

(6n-3)(6n+3)

…（7分）
=

1

6

(

1

6n-3

-

1

6n+3

)，…（9分）
T_n=

1

6

[(

1

3

-

1

9

)+(

1

9

-

1

15

)+…+(

1

6n-3

-

1

6n+3

)]…（11分）
=

1

6

(

1

3

-

1

6n+3

)…（13分）
=

n

9(2n+1)

．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．