Question

15、设直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有a+b＜c+h成立，某同学通过类比得到如下四个结论：①a²+b²＞c²+h²；②a³+b³＜c³+h³；③a⁴+b⁴＞c⁴+h⁴；④a⁵+b⁵＜c⁵+h⁵．
其中正确结论的序号是

②④

；进一步类比得到的一般结论是

aⁿ+bⁿ＜cⁿ+hⁿ（n∈N^*）

．

Answer 1

分析：由a+b＜c+h成立，我们可以类比给出a³+b³＜c³+h³；a⁴+b⁴＜c⁴+h⁴；a⁵+b⁵＜c⁵+h^5等，再逐一分析它们的真假，再根据其中的规律，归纳猜想出一般性的结论．

解答：解：在直角三角形ABC中，a=csinA，b=ccosA，ab=ch，所以h=csinAcosA．
于是aⁿ+bⁿ=cⁿ（sinⁿA+cosⁿA），cⁿ+hⁿ=cⁿ（1+sinⁿAcosⁿA）．aⁿ+bⁿ-cⁿ-hⁿ=cⁿ（sinⁿA+cosⁿA-1-sinⁿAcosⁿA）=cⁿ（sinⁿA-1）（1-cosⁿA）＜0．
所以aⁿ+bⁿ＜cⁿ+hⁿ（n∈N^*）．

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）