Question

10．不等式x+y+z≤10的正整数解的组数共有120组．

Answer 1

分析 分类讨论，根据分类计数原理可得

解答 解：若x，y，z中没有相同的数字，共（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，2，6），（1，2，7），（1，3，4），（1，3，5），（1，3，6），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5）有11组，此时不等式x+y+z≤10的正整数解的组数共有11A₃³=66种，
若x，y，z中有两个相同的数字，共有（1，1，2），（1，1，3），（1，1，4），（1，1，5），（1，1，6），（1，1，7），（1，1，8）
（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（2，2，3），（2，2，4），（2，2，5），（2，2，6），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，4）有17组，共有17A₃¹=51种，
若若x，y，z中有三个相同的数字，则有（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），故有3种，
根据分类计数原理可得，66+51+3=120，
故答案为：120

点评 本题考查了分类计数原理，关键是分类讨论，属于中档题