Question

在△ABC中，已知AB=2，A=60°，sin

1

2

∠ABC=

3

3

．
（1）求sinABC的值；
（2）若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）由三角形的性质得

1

2

∠ABC是锐角，算出cos

1

2

∠ABC=

6

3

，再由二倍角的正弦公式即可求出sinABC的值；
（2）△ABD中运用正弦定理，算出BD=

AB•sinA

sinADB

．利用三角形内角和得到sinADB=sin（60°+

1

2

∠ABC），结合两角和的正弦公式可得sinADB=

3 2 + 3

6

，结合题中数据代入BD的表达式即可求出BD之长．

解答：解：（1）∵sin

1

2

∠ABC=

3

3

且

1

2

∠ABC是锐角
∴cos

1

2

∠ABC=

1- 1 3

=

6

3

因此sinABC=2sin

1

2

∠ABCcos

1

2

∠ABC=2×

6

3

×

3

3

=

2 2

3

；
（2）△ABD中，根据正弦定理

BD

sinA

=

AB

sinADB

，得
BD=

AB•sinA

sinADB

…①
而sinADB=sin[180°-（A+

1

2

∠ABC）]=sin（60°+

1

2

∠ABC）
=

3

2

×

6

3

+

1

2

×

3

3

=

3 2 + 3

6

…②
将②代入①，得BD=

3

3 2 + 3 6

=

6( 6 -1)

5

点评：本题给出△ABC的角A和边AB，在已知角B一半的正弦情况下求B的正弦，并求角B平分线BD之长．着重考查了两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系和正弦定理等知识，属于中档题．