Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，， ，为线段的中点，为线段上一动点（异于点），为线段上一动点，且.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）要证平面平面，转证平面即证

（Ⅱ）建立如图空间直角坐标系，求出平面的法向量，代入公式可得结果.

（I）证明：因为，为线段的中点，

所以，

在直三棱柱中，易知平面，

，而；

平面，；

又因为，；

所以平面，

又平面；所以平面平面；

（II）由（I）可建立如图空间直角坐标系，

因为所以，

则，

，

设，

所以，

因为，，

所以，

，

解得：（异于点） ,

设平面 的法向量为 ，则

即 ，可取 ，

设直线与平面所成角为 ，

则 ,

直线与平面所成角的正弦值为.