【题目】已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)设,若对任意的
,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ) (1)若,
在
上单调递增;(2)若
,
在
上单调递增;在
上单调递减; (Ⅱ)
.
【解析】
(I)先求得函数的导数和定义域,然后对分成
两类,讨论函数的单调性.(II)将原不等式恒成立转化为“
对任意的
恒成立”,根据(I)的结论,结合函数的单调性,以及
恒成立,求得
的取值范围.
(Ⅰ)
,
(1)若,则
,函数
在
上单调递增;
(2)若,由
得
;由
得
函数
在
上单调递增;在
上单调递减.
(Ⅱ)由题设,对任意的
恒成立
即对任意的
恒成立
即对任意的
恒成立 ,
由(Ⅰ)可知,
若,则
,
不满足
恒成立,
若,由(Ⅰ)可知,函数
在
上单调递增;在
上单调递减.
,又
恒成立
,即
,
设,则
函数
在
上单调递增,且
,
,解得
的取值范围为
.
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【题目】在气象台A正西方向处有一台风中心,它正向东北方向移动,移动速度的大小为
,距台风中心
以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变,气象台所在地是否会受到台风的影响?如果会,大约多长时间后受到影响?持续时间有多长(精确到
)?
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【题目】随着电商的快速发展,快递业突飞猛进,到目前,中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费用的标准是:重量不超过的包裹收费10元;重量超过
的包裹,除
收费10元之外,每超过
(不足
,按
计算)需再收5元.
该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下:
包裹重量(单位: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
包裹件数 | 43 | 30 | 15 | 8 | 4 |
公司对近60天,每天揽件数量统计如下表:
包裹件数范围 | 0~100 | 101~200 | 201~300 | 301~400 | 401~500 |
包裹件数(近似处理) | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
天数 | 6 | 6 | 30 | 12 | 6 |
以上数据已做近似处理,并将频率视为概率.
(1)计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率;
(2)①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值;
②根据以往的经验,公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润,剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人,每人每件揽件不超过150件,日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人,试计算裁员前后公司每日利润的数学期望,若你是公司老总,是否进行裁减工作人员1人?
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【题目】设是函数
的导数,若
是
的导数,若方程方
有实数解
,则称.
点为函数
的“拐点”.已知:任何三次函数既有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心.设
,数列
的通项公式为
,则
__________.
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【题目】某学校开展一次“五四”知识竞赛活动,共有三个问题,其中第1、2题满分都是15分,第3题满分是20分.每个问题或者得满分,或者得0分.活动结果显示,每个参赛选手至少答对一道题,有6名选手只答对其中一道题,有12名选手只答对其中两道题.答对第1题的人数与答对第2题的人数之和为26,答对第1的人数与答对第3题的人数之和为24,答对第2题的人数与答对第3题的人数之和为22.则参赛选手中三道题全答对的人数是____;所有参赛选手的平均分是____.
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【题目】已知无穷数列的前
项和为
,且满足
,其中
、
、
是常数.
(1)若,
,
,求数列
的通项公式;
(2)若,
,
,且
,求数列
的前
项和
;
(3)试探究、
、
满足什么条件时,数列
是公比不为
的等比数列.
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【题目】在①,②
,③
这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决问题.
已知,
,
,__________,求
.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
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